SOS problemi di matematica. Consigli ai docenti

Nella vita di tutti i giorni ci troviamo spesso davanti a problemi che dobbiamo risolvere. Possono essere piccolissimi come quelli di seguito.

Questa mattina mi sono svegliato e tutto assonnato non riuscivo ad aprire il barattolo della marmellata.

Sto facendo una torta e mi manca il cioccolato fondente da grattare.

 Devo traslocare tutti i miei giochi e ho bisogno di recuperare delle scatole adatte per il trasporto.

 Ho forato la bici! Devo cambiare la gomma.

In ogni caso quello che ricerchiamo per un problema è la soluzione. Siamo soddisfatti quando il barattolo si apre, la torta è sul piatto, abbiamo le scatole adatte, siamo di nuovo in sella…

Ogni problema ha la sua soluzione o meglio una sua soluzione. E ci sono anche problemi che non ne hanno alcuna.

Assistere alla finale dei Mondiali di calcio del 2106 è per me un problema senza soluzione.

Come ci liberiamo di un problema?

Possiamo descrivere un percorso standard per affrontare un problema, ad esempio, attraverso quattro tappe:

1. Riconoscere che c’è un problema.
2. Capire che cosa intendiamo per una soluzione di quel problema.
3. Riuscire a descrivere il problema in modo da chiarirlo a noi stessi e da comunicarlo ad altri.
4. Trovare una soluzione.

1 Riconoscere che c’è un problema.

Il primo passo da fare è riconoscere che siamo davanti a un problema. Naturalmente, ciò che è un problema per me non è detto che lo sia per te che leggi. Decidere che una situazione è problematica è molto soggettivo, molto personale.

In particolare, abbiamo un problema, quando sentiamo l’urgenza di uscire da una certa situazione. Se non apro il barattolo di marmellata, la mia giornata inizia con mezza colazione. Ma questo non basta, potrei benissimo accettare un disagio. In fondo ci sono molte situazioni nelle quali lo facciamo. Ciò che ci fa sentire che abbiamo un problema è l’urgenza di uscire da una situazione spiacevole, il bisogno di non sopportare oltre quel disagio: se ci fai caso, quando parli di un problema spesso dici “devo”, “ho bisogno”, “mi serve”.

Pertanto, quando abbiamo un problema è molto facile che sappiamo di averlo (infatti abbiamo bisogno di qualcosa) e quindi che vogliamo trovare una soluzione. La prima cosa da fare è capire quale tipo di soluzione potrebbe andarci bene.

Attenzione! Aver capito quale tipo di soluzione ci andrebbe bene, non è ancora aver capito come realizzarla né tanto meno averla effettivamente realizzata. Però è un passo avanti importante.

2 Capire che cosa intendiamo per una soluzione di quel problema.

Come abbiamo visto, le situazioni problematiche possono essere moltissime e di tanti tipi diversi. Le soluzioni possono non apparirci così chiaramente e anche se pensiamo di conoscerle non è detto che riusciamo a raggiungerle. Ma allora, su cosa possiamo contare?

Semplificando molto abbiamo davanti a noi due vie:

• Ricorrere all’esperienza. Cioè rifarci a qualcosa che è già successo in passato.
• Battere una strada del tutto nuova. Cioè avere spirito d’innovazione.

Ricorrere all’esperienza può voler dire che ci dobbiamo riferire a situazioni che abbiamo vissuto molte volte e allora abbiamo dalla nostra qualche routine che conosciamo bene e che possiamo utilizzare. Ma può anche voler dire scavare nella memoria fino a quell’unica volta in cui ci siamo trovati in una situazione analoga.

E ci sono anche situazioni nelle quali dobbiamo fare affidamento sull’esperienza di altre persone o leggere casi generali riportati in libri, articoli, pubblicazioni. Infine, ricorrere all’esperienza può voler dire sapere imparare dagli errori.

E che dire dell’innovazione? È innegabile che ci sono situazioni nelle quali l’esperienza non riesce ad aiutarci: può essere che noi non ne abbiamo abbastanza, ma può anche essere che il problema sia veramente nuovo e che quindi nessuno sappia che pesci pigliare. Come si fa a battere una strada del tutto nuova? Come ci si orienta?

Qui gli strumenti sono essenzialmente due: la fantasia o il metodo.

Avere metodo vuol dire essere capaci di suddividere il problema in tante situazioni più limitate e quindi più semplici da affrontare. In modo che di ciascuna di queste sia più facile capire le conseguenze e quindi tenere sotto controllo i risultati. Ovviamente, la suddivisione del problema funziona solo se tutte le situazioni messe assieme ci ridanno il problema iniziale!

Usare la fantasia, o la creatività, è invece un po’ un salto nel buio. Bisogna mettere assieme ciò che si sa già con ciò che non si sa ancora. Bisogna farsi forti delle proprie capacità per aggirare gli ostacoli. Bisogna provare e verificare i risultati di ogni prova. Un po’ come quando fai un disegno: ogni tanto ti fermi, alzi la testa e vedi se sei soddisfatto, se sulla carta c’è quello che avevi in testa. O almeno qualcosa che ti piace.

3 Riuscire a descrivere il problema in modo da chiarirlo a noi stessi e da comunicarlo ad altri.

Il passaggio successivo è quello di descrivere il nostro problema in modo da chiarirlo a noi e agli altri. Bada bene: non esistono descrizioni che vanno bene per tutti i problemi. Ognuno ha la sua. E non è neanche detto che, di fronte allo stesso problema, io e te lo descriveremmo allo stesso modo. Dare una descrizione è una parte del cammino verso una soluzione e se voglio che tu risolva un problema devo accettare la tua descrizione.

Potrebbe essere un esercizio interessante raccogliere i modi che ci sono nei diversi Paesi del mondo per fare le operazioni, anche solo somme e moltiplicazioni. Si trovano strategie, tecniche, trucchi molto diversi tra loro ma che celano la comprensione di un particolare aspetto, di una particolare proprietà dell’operazione stessa. Ciascuno è a tutti gli effetti una descrizione diversa, che contiene sapienze, conoscenze e culture diverse dalla nostra.

4 Trovare una soluzione 

Detto questo, è anche vero che ci sono alcuni strumenti potenti che sarebbe poco prudente ignorare: il rischio è di riscoprire l’acqua calda oppure di spendere molto tempo per fare qualcosa che altri hanno già fatto o, peggio ancora, di non essere in grado di arrivare a una soluzione.

Ovviamente, quelli che ti propongo non sono strumenti concreti, oggetti o macchine, ma piuttosto idee, modi di pensare, procedure. Tra gli strumenti che abbiamo a disposizione ci sono:

Il ragionamento “se… allora…” non è altro che la capacità di pensare alla situazione in cui ci troviamo e provare ad analizzarla dal punto di vista delle conseguenze. Questo tipo di ragionamento permette di escludere a priori alcune scelte e di indicarci quello che non dobbiamo fare.

I diagrammi di flusso sono uno strumento tipico dell’informatica, ma possono essere applicati in situazioni molto diverse. Permettono di descrivere un problema, dividendolo in tante azioni elementari che possono accadere. Sono un modo grafico di rappresentare tante implicazioni “se… allora…” tutte assieme in una struttura che tiene conto di tutti i casi possibili.

Gli esempi di buone pratiche sono un serbatoio formidabile di possibilità. È importante che tu conosca scelte che hanno portato al successo in altre situazioni che per qualche verso sono simili.

I modelli sono rappresentazioni elementari di situazioni diverse ma tutte simili e che pertanto possono essere affrontate più o meno allo stesso modo.

Le equazioni sono il più semplice dei modelli. Infatti, riuscire a scrivere un’equazione non è altro che rappresentare un problema con pochi simboli schematici. Questo ti permette di concentrarti sui soli simboli ignorando cosa rappresentano. Una volta che avrai trovato la soluzione simbolica, dovrai solamente ritradurla nei termini del tuo problema.

Ma che cosa c’entra la matematica?

La matematica ha a che fare con i problemi. Ma normalmente siamo abituati a vederla occuparsi di punti e di rette, di triangoli e di quadrati, di numeri e di frazioni, di espressioni letterali e di polinomi. Su questi e su altri oggetti ancora più astrusi costruisce i suoi problemi. Ma le cose stanno proprio così?

La matematica ha bisogno di costruirsi problemi nuovi? O piuttosto si occupa dei problemi nei quali effettivamente c’imbattiamo?

Né l’uno né l’altro. La matematica cerca di darci gli strumenti per affrontare i problemi e cerca di darceli nel modo più generale possibile. Spoglia ogni elemento che appare in un problema di tutte le caratteristiche concrete, vere, quotidiane per considerarne solo gli aspetti che servono alla descrizione e quindi alla soluzione.

Se vuoi misurare l’altezza di una montagna, hai il problema che una volta in cima non riesci ad avere veramente una retta verticale che scende dalla vetta. Il versante non è regolare ed è difficile fare dei calcoli. Ci sono rocce, alberi, discese e risalite. Tutto ti ostacola. La matematica astrae da questo e vede solo angoli e triangoli, proporzioni e figure che si assomigliano. Questi diventano gli strumenti della descrizione che porterà alla soluzione, come vedrai tra un po’ con lo studio della geometria e della trigonometria.

La matematica passa dal concreto all’astratto, a tal punto che può dimenticarsi delle situazioni di partenza.

Astrazione significa capacità di avere a che fare con le rappresentazioni dei problemi anche senza dover far riferimento ai problemi veri e propri. Non importa da quale problema si parte e neppure se a una stessa rappresentazione si arriva da due problemi diversi. La matematica prende una rappresentazione e su questa studia, costruisce, ragiona.

Quando è chiaro che le espressioni, i calcoli e, più in là, le equazioni rappresentano tanti problemi, la matematica ignora tutti i problemi che si possono rappresentare con equazioni e considera solo le equazioni. E lo stesso fa con la logica del “se… allora…”, con i diagrammi di flusso, con i modelli e così via.

E poi c’è una seconda caratteristica: la matematica tende a passare dai casi particolari alle teorie generali. Cerca cioè di togliere dalle rappresentazioni tutti gli elementi superflui fino a tenerne soltanto lo scheletro fondamentale ed è di questi scheletri essenziali che si occupa. Perché perdono man mano le loro specificità di casi particolari per diventare gli oggetti e i protagonisti di teorie matematiche più generali.

La matematica ama risolvere molti problemi in un colpo solo ed è per questo che in tante sue branchie svariate situazioni sono rappresentate da pochi simboli schematici.

I simboli, ad esempio le lettere del calcolo letterale, rappresentano idee astratte che di volta in volta possono essere usate con le uova, le automobili, gli abitanti di una città e via elencando.

Le soluzioni simboliche valgono del tutto in generale e a noi non resta altro che prendere il nostro problema e dargli una qualche rappresentazione. Scelta questa, le soluzioni vengono da sé. Grazie alla matematica.

Inciampi, buche e scalini nascosti

Primo inciampo. Ogni dato che compare in un problema compare nella soluzione

Non è vero! I dati che concorrono alla soluzione sono quelli significativi. Cercare una soluzione richiede di capire quali dati sono in gioco e quali no.

Secondo inciampo. Una e una sola soluzione!

Siamo istintivamente convinti che ogni problema abbia sempre una soluzione e ne abbia una sola. Le cose non stanno così. Proponiamo ai nostri studenti problemi senza soluzione, altri che ne hanno due o tre o molte o… infinite!

Terzo inciampo. Hai letto bene?

La principale difficoltà con i problemi non ha a che fare con la matematica ma con la lettura. Molti leggono senza capire. Lavoriamoci. All’inizio leggiamo noi il testo con la giusta intonazione. Poi chiediamo loro di leggerlo a voce alta. Quindi, quando hanno maggior confidenza con i problemi, insistiamo perché leggano il testo senza-la-matita-in-mano prima di cominciare a risolverlo.

Lettura / Un problema è un bel problema

Stefano Bordiglioni è un maestro elementare e uno scrittore. Ha raccolto, rielaborato, inventato testi di problemi e considerazioni, pensieri, exploit dei bambini. Ne è uscito un libro interessante e coinvolgente che ci spinge a ragionare su che cosa è lecito fare davanti a un problema. (Stefano Bordiglioni, Un problema è un bel problema, Einaudi ragazzi).

Attività da fare in classe /  A inventar problemi

È molto importante che i bambini capiscano che problemi con la stessa struttura si risolvono allo stesso modo: è un passo avanti verso la capacità di astrarre.

Dai loro il testo di un problema e chiedi di inventarne un altro che si risolve con le stesse operazioni (ma con altri numeri e con un’altra “ambientazione”).

Oppure chiedi loro di inventare un problema nella cui soluzione compaiano, per esempio. due addizioni e una moltiplicazione. Poi li inviterai a scambiarseli tra compagni, in modo che ciascuno risolva il problema di un altro.

Insomma, prendi l’abitudine di far ragionare loro sul testo più che sul risolverlo.