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Le proprietà delle operazioni, a che cosa servono?

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Le proprietà delle operazioni, a che cosa servono?
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Le proprietà delle operazioni non sono regole stabilite da qualcuno e che non servono a nulla. Ecco come dimostrarlo agli studenti in via sperimentale

C’è un rischio che noi insegnanti dobbiamo evitare: che gli studenti pensino che le proprietà delle operazioni siano regolette “decise da qualcuno” e che non servono a nulla.

Le proprietà delle operazioni

Nessuno ha stabilito che l’addizione goda della proprietà commutativa. Ma si può mostrare sperimentalmente che in effetti sommare a+b e sommare b+a dà lo stesso risultato. Qualsiasi siano i numeri di partenza, la somma è la stessa.

Quindi man mano che noi insegnanti introduciamo le operazioni alla classe, può essere istruttivo che dedicare un po’ di tempo alla seguente domanda:

“Che cosa succede al risultato se scambio tra loro i due termini dell’operazione?”

Nell’addizione e nella moltiplicazione succede che il risultato non cambia. Nella sottrazione e nella divisione (ma anche con le frazioni e le potenze) invece non succede niente: semplicemente (e noiosamente) si tratta di espressioni diverse.

  • a-b non è quasi mai b-a.
  • a:b non è quasi mai b:a.
  • a/b non è quasi mai b/a.
  • ab non è quasi mai ba.

Queste operazioni in effetti non godono della proprietà commutativa.

Proponiamo una check-list di proprietà da verificare

Il mio suggerimento è dunque che ogni volta che introduciamo un’operazione nuova proponiamo alla classe una check-list di proprietà da verificare:

  • che cosa succede al risultato se scambio tra loro i due termini dell’operazione?
  • Che cosa succede al risultato se opero con i primi due termini e poi sul terzo, o se opero con il secondo e il terzo termine e poi col primo?
  • Che cosa succede al risultato se nell’operazione uno dei termini è 0?
  • Che cosa succede al risultato se nell’operazione uno dei termini è 1?
  • Che cosa succede al risultato se tolgo/aggiungo ai due termini dell’operazione uno stesso numero?
  • Che cosa succede al risultato se divido/moltiplico i due termini dell’operazione per uno stesso numero?

Poi dividete la classe in gruppi di quattro o cinque alunni e invitateli a lavorare su queste domande (o su altre analoghe che emergono dalla discussione tra voi). Saranno loro a scoprire le proprietà delle operazioni.
Non bloccateli se nel lavoro in gruppo sorgono altre domande. Lasciate che le indaghino e che cerchino di capire se la regolarità che hanno intuito è o meno vera.

Soffermiamoci su queste due parole “regola” e “regolarità”

Una regola è una norma, indica un comportamento da tenere, l’indicazione di ciò che si può fare in contrasto con ciò che è vietato. Una regolarità è una caratteristica che si presenta invariata indipendentemente da ciò che cambia. Nessuno ti ordina “commuta!”.

La proprietà commutativa indica invece un fatto: se anche scambi gli addendi, la somma è la stessa. È una regolarità e come tale ci dà la libertà di scegliere se lasciare gli addendi come sono scritti o se scambiarli di posto. Possiamo stare sereni nel farlo, in ogni caso la proprietà commutativa è lì a garantirci che la somma rimane la stessa.

Perché però dovremmo voler fare ciò che ci garantisce una proprietà?

Perché potrebbe darsi il caso che usare una proprietà ci indichi una via per fare con più tranquillità un calcolo.
Io, ad esempio, se devo calcolare 372-196 mi sento a mio agio aggiungendo 4 ai due termini e calcolo 376-200. Lo posso fare serenamente perché ho la proprietà invariantiva dalla mia.

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