I numeri naturali e le loro proprietà

I numeri spaventano molte persone, in particolare bambine e bambini. E quando questo accade, quando il rapporto con la matematica è compromesso fin dai primi anni, è difficile recuperare. Eppure alcuni “truchetti” possono aiutare a sentirsi più a proprio agio. Partiamo dai numeri naturali per imparare (a insegnare) meglio la matematica.

Cosa sono i numeri naturali

I numeri naturali sono i primi numeri che impariamo a conoscere. Molti “scoprono” i numeri per contare da soli, anche da piccoli. Enumerare significa elencare ovvero esporre uno per uno gli elementi di una serie. Numerare significa contare uno a uno ovvero contrassegnare con numeri (naturali) successivi. In queste due definizioni sono nascoste molte idee importanti sui numeri naturali e sulle operazioni (elementari) che possiamo fare con essi.

Alla base dei numeri naturali c’è una proprietà semplice, la proprietà del “+1”: ogni numero naturale ha un successivo.

Cosa bisogna sapere sui numeri naturali

Esistono due punti importanti da cui partire per conoscere bene i numeri naturali e quindi approcciare nel modo giusto la matematica:

1. Il primo dei numeri naturali si chiama zero
2. Ogni numero naturale ha un successivo

Non serve altro per costruire tutti i numeri naturali.

Con queste due affermazioni, siamo in grado (in teoria!) di scrivere ogni numero naturale e di definire le operazioni elementari: addizione, sottrazione, moltiplicazione, divisione ed elevamento a potenza.

L’addizione non è altro che un “passaggio al successivo” ripetuto: a partire dal primo addendo, passo di successivo in successivo tante volte quante ne indica il secondo addendo.

5+3=((5+1)+1)+1

A sua volta, la moltiplicazione è un’addizione con addendi tutti uguali tra loro.

5×3=5+5+5

Il concetto di uguale in matematica

Prima di proseguire con le operazioni, fermiamoci un attimo su un concetto matematico importantissimo: l’uguale. Quando due numeri sono uguali? Quando sono lo stesso numero!

Ad esempio, 3=3: su questo nessuno ha dubbi, ma non è troppo significativo. L’uso dell’uguale è più significativo quando confrontiamo due scritture diverse dello stesso numero.

Ad esempio, 5+7–9=4–1. Che cosa significa questa uguaglianza? Significa che il numero espresso dalle due operazioni a primo membro è lo stesso del numero espresso dalla sottrazione a secondo membro.

Possiamo scrivere uguaglianze solo tra numeri… uguali! Capita a volte che si scrivano catene di uguaglianze che non sono tali (si veda il “Secondo inciampo. L’uguale deve essere… uguale”). Quale spia d’allarme deve metterci in guardia da questo errore?

Le proprietà dell’uguale

Quella delle proprietà dell’uguale, che sono tre:

1. Proprietà riflessiva. Un numero è uguale a se stesso: 3=3.
2. Proprietà simmetrica. Se un primo numero è uguale a un secondo numero, allora anche il secondo è uguale al primo: dato che 5+7–9=4–1, allora 4–1=5+7–9.
3. Proprietà transitiva. Se un primo numero è uguale a un secondo che è uguale a un terzo, allora anche il primo è uguale al terzo: 5+7–9=4–1 e 4–1=13–10, allora 5+7–9=13–10.

La proprietà transitiva ci mette in guardia dallo scrivere catene di disuguaglianze sbagliate come quella del “Secondo inciampo”.

Buone abitudini per il futuro

Con queste idee chiare sull’uguale possiamo distinguere due tipi di uguaglianze “letterali” che i vostri studenti, una volta cresciuti (ma neanche troppo) si troveranno a dover manipolare.

L’uguaglianza 5+x=8 è un problema da risolvere. Ha lo stesso significato della domanda: “Quale numero x devo aggiungere a 5 per ottenere 8?”. Uguaglianze di questo tipo si chiamano equazioni. Risolvere un’equazione significa trovare tutti i numeri che rispondono alla domanda (se esistono). Infatti, ci sono equazioni che hanno una soluzione, altre che non ne hanno nessuna, altre ancora che hanno un certo numero di soluzioni e infine altre che ne hanno… infinite.

Qui noi non ci occupiamo di equazioni, ma è importante che voi sappiate che le equazioni ci siano, perché alcune buone (o meno buone) abitudini che date ai vostri studenti possono aiutarli (o ostacolarli) nel risolvere equazioni, in futuro.

L’uguaglianza 5+x=x+5 esprime una proprietà: si tratta di un caso particolare della proprietà commutativa dell’addizione, la cui formulazione generale è x+y=y+x.

Le proprietà delle operazioni

Per lavorare con le operazioni, è importante conoscerne le proprietà. Una proprietà di un’operazione esprime un’uguaglianza che è vera sempre, indipendentemente dai numeri su cui state calcolando.

Proprietà dell’addizione

1. Esistenza dell’elemento neutro: n+0=n
2. Proprietà commutativa: a+b=b+a
3. Proprietà associativa: (a+b)+c=a+(b+c)

Le proprietà dell’addizione vi garantiscono che quando fate un calcolo siete liberi di scambiare tra loro due addendi (proprietà commutativa) o di raggrupparli a vostro piacimento (proprietà associativa). Se lo fate, siete tranquilli che non state modificando il valore dell’espressione che manipolate. Lo stesso discorso vale per le proprietà della moltiplicazione.

In conclusione, due parole sulle precedenze tra moltiplicazione e addizione. Quando abbiamo un’espressione nella quale compaiono sia moltiplicazioni sia addizioni, quali dobbiamo calcolare per prime? È una risposta che dobbiamo avere. Prendiamo l’espressione 5+3×2. Se calcolassimo prima l’addizione otterremmo 16. Calcolando prima la moltiplicazione otteniamo 11. Quale dei due risultati è giusto? Il secondo! Dobbiamo sempre calcolare prima tutte le moltiplicazioni e poi tutte le addizioni:

5+3×2=5+6=11.

Un buon esercizio è usare le proprietà dell’addizione e della moltiplicazione per vedere che questa convenzione (“prima moltiplica, poi somma”) è quella sensata.

I numeri naturali sono la base della matematica: insegnate queste basi e la vostra classe non avrà paura di imparare!