Matematica: le proprietà, le precedenze e le parentesi

In matematica alcune azioni sono interscambiabili tra loro, altre devono seguire delle precedenze obbligate.

Voglio mettervi in guardia da un errore che capita di fare: non rispettare le precedenze. E in matematica, proprio come per strada, se non si rispettano le precedenze si rischia di fare incidenti. Vi faccio un esempio, ma per farlo mi serve ricordarvi una piccola proprietà dell’addizione: l’addizione è commutativa. Detto in parole semplici, possiamo scambiare di posto due addendi:
5+7=7+5

Dire che vale la proprietà commutativa, vuol dire che possiamo sempre scambiare di posto due addendi, in ogni addizione, con ogni coppia di numeri ci possa venire in mente. I matematici scrivono questo fatto con una formula generale di questo tipo:
a+b=b+a

La proprietà commutativa – come tutte le proprietà matematiche – non stabilisce un obbligo o un divieto. Non c’è nessuno che va in giro a ordinare: «tu, commuta». La proprietà commutativa indica una possibilità: «non farti problemi, se quando fai calcoli per te è comodo scambiare di posto due addendi, fallo liberamente, c’è la proprietà commutativa che ti rassicura: il risultato non cambierà se fai o non fai lo scambio».

Ma torniamo a noi e al nostro esempio sulle precedenze nel quale avrà un ruolo importantissimo la proprietà commutativa dell’addizione. Eccolo.

Quanto vale 5+7×2?

Se facessi prima l’addizione, otterrei 5+7×2=12×2=24. (ci metto sopra una linea per ricordarci che sto sbagliando. Fra poco vi dico perché).

Se faccio prima la moltiplicazione, ottengo 5+7×2=5+14=19. 24 e 19 sono due numeri diversi, quindi non possono essere entrambi giusti.

Quale dei due lo è? Per capirlo mi faccio aiutare dalla proprietà commutativa dell’addizione. Se scambiassi i primi due numeri, otterrei: 5+7×2=7+5×2=7+10=17.

Un altro risultato ancora diverso dai primi due! (e che, vi anticipo, è anche questo sbagliato).

Oppure posso scambiare il numero che precede il più con l’operazione che lo segue e allora ottengo: 5+7×2=7×2+5=14+5=19. Bingo! Ecco un risultato che ho già trovato. Ed ecco il modo giusto di trattare le operazioni: devo tenere assieme la moltiplicazione 7×2 e considerarla come un unico addendo.

Se vogliamo che l’operazione sia sempre la stessa e che il risultato non cambi, la precedenza deve essere questa: prima la moltiplicazione e poi l’addizione.

C’è una situazione di vita quotidiana che a me ricorda molto lo svolgimento di questa espressione. Immaginate di essere a piedi nudi e di dover uscire: dovete mettervi due calze e due scarpe. Alcune azioni hanno tra loro delle precedenze obbligate, altre no. Le precedenze obbligate sono due: la scarpa sinistra va messa dopo la calza sinistra; e lo stesso deve succedere a destra. Quindi voi potete mettervi calze e scarpe in tre modi. Prima le due calze (non importa in quale ordine), poi le due scarpe (non importa in quale ordine). Calza sinistra, scarpa sinistra, calza destra, scarpa destra. Calza destra, scarpa destra, calza sinistra, scarpa sinistra. Non ci sono altre possibilità. Perché, se provate a ipotizzarne una, vedete che vi trovereste a mettere una scarpa prima della calza corrispondente, cosa che viola le precedenze obbligatorie. Riuscite a immaginare altre azioni nella vita quotidiana nelle quali alcune cose vanno fatte per forza prima di altre?

Azioni commutative e non

Torniamo ora ai nostri calcoli matematici e in particolare alla nostra espressione. Come dobbiamo comportarci se vogliamo fare prima l’addizione? Nessun problema, abbiamo modo di farlo, in fondo siamo noi a decidere che cosa va fatto prima e che cosa dopo. E per questo è sufficiente indicare la precedenza attraverso una coppia di parentesi, ad esempio:
(5+7)×2.

Scritta in questo modo, l’espressione cambia. Mi sta dicendo che devo prima sommare 5 e 7 e solo dopo posso moltiplicare la loro somma, che è 12, per 2. E a questo punto il risultato ottenuto è 24. Tutta un’altra cosa rispetto all’operazione scritta: 5+7×2.

In matematica, ma non solo in matematica, ci sono azioni che posso scambiare tra loro senza danni, ad esempio: dividere per 2 e moltiplicare per 4 sono azioni che posso scambiare. Provare per credere:
14 diviso 2 fa 7 che moltiplicato per 4 dà 28. Così 14 moltiplicato per 4 fa 56 che diviso 2 dà 28. Dividere per 2 e moltiplicare per 4 sono quindi due azioni commutative. Poi ci sono altre azioni che non si possono scambiare tra loro come appunto aggiungere 7 e moltiplicare per 2. Abbiamo visto che a seconda di come faccio i calcoli cambia il risultato.

È per questo che studiamo le proprietà delle operazioni. Le proprietà non sono regole che devono essere seguite, non ci danno degli ordini. Sono invece delle regolarità che i matematici hanno notato (e dimostrato), e che ci indicano alcune libertà che noi possiamo prenderci nel calcolo. Quando non possiamo prendercele, dobbiamo dare la precedenza a chi vogliamo calcolare per prima.

Consigli di lettura

Viva i numeri, di Nicoletta Costa (edizioni EL, 2016), è un libro che avvicina i bambini, dai quattro anni, alla matematica in modo giocoso e divertente. A guidare i piccoli nel mondo dei primi calcoli ci pensa la nuvoletta Olga insieme ai suoi amici uccellini. Per un apprendimento graduale e adatto all’età.