Matematica, come insegnare ai bambini a fare calcoli a mente

Per molti la matematica è calcolo. Non è proprio così, ci sono molte altre dimensioni nel fare matematica, ma oggi facciamo finta che lo sia e ci concentriamo sul calcolo, con uno sguardo particolare sul calcolo a mente.

Il calcolo non è molto di moda. Da un lato ci sono calcolatrici, computer e telefoni cellulari, che fanno i calcoli “benissimo”. Dall’altra ci sono ansia, paura e pigrizia che bloccano molti bambini, ragazzi e adulti (!) nel fare i calcoli. È un peccato per alcuni motivi.

Calcolare è un’ottima palestra mentale: ci tiene agili e giovani, esercita la memoria e sviluppa l’attenzione. Calcolare sviluppa la creatività e ci aiuta a conoscerci meglio: non c’è un solo modo, né forse un modo “migliore”¸ di fare i calcoli. Ognuno deve sondare le proprie tecniche personali (corrette!) di calcolo. Ma soprattutto diventare fluidi col calcolo di un certo livello aiuta a passare al livello successivo. Il calcolo è un prerequisito per ragionamenti più avanzati, più astratti. È difficile fare moltiplicazioni (o sottrazioni) se prima non si è fluidi e pronti con le addizioni. Le moltiplicazioni, poi, sono il prerequisito per le divisioni, le frazioni, le potenze e così via.

Fare calcoli, per scritto o a mente, richiede di fare la pace con gli errori di conto che tutti commettiamo. Questa è una delle poche certezze che ho sulla matematica: calcolare è un’operazione astratta, che richiede attenzione, concentrazione, conoscenze. È facilissimo commettere errori. Basta un po’ di stanchezza, una piccola distrazione o un minimo fraintendimento.

Per questo dobbiamo dedicare tempo, energie e passione al calcolo mentale, non insegnandolo attraverso ricette, ma allenandolo alla luce di quello che bambini e ragazzi stanno imparando (quanto sono “potenti” per il calcolo a mente le proprietà invariantiva e associativa!).

Gli errori nel calcolo poi non sono mai completamente sbagliati e spesso ci dicono, se solo ci fermiamo ad ascoltare o a leggere, qualcosa del modo di ragionare di chi li commette. Si tratta di uno strumento didattico non da poco.

Per diventare fluidi nel calcolo, è più importante trovare una propria via che imparare una ricetta.

Vediamo qualche piccolo esempio di calcolo che potrebbe suggerirvi come aiutare bambini e ragazzi a trovare ciascuno la propria via nella selva delle operazioni.

La moltiplicazione di Peano

Giuseppe Peano, uno dei più importanti matematici del secolo scorso, suggeriva di fare le moltiplicazioni in colonna senza riporti: il prezzo è di scrivere qualche cifra in più, il vantaggio è di avere tutto ben espresso sotto gli occhi.

È vero che si scrivono due termini in più (siamo abituati a scrivere solo 36 e 54), ma quanto è più facile in questo modo verificare se abbiamo sbagliato qualcosa? E soprattutto, quanto meno sforzo dobbiamo fare non dovendo tenere a mente “riporto 2” e “riporto 3”.

Moltiplicare con la proprietà associativa

Fare una moltiplicazione è difficile soprattutto con i numeri grandi. Allora… cerchiamo di moltiplicare solo con numeri piccoli. Nessuno ci obbliga a moltiplicare in una volta sola. Per qualcuno può essere meglio fare tanti piccoli passi semplici da compiere.

18×32=(18×2)×16=36×16=(36×2)×8=72×8=(72×2)×4=144×4=(144×2)×2==288×2=576

È molto più lungo, ma non ci lanciamo mai nel vuoto.

In quest’ottica, il calcolo permette di dare un senso alle proprietà invariantiva, associativa ecc. Allo stesso modo è interessante mostrare metodi diffusi in altre culture per fare calcoli (moltiplicazione cinese, addizione di Peano, ricerca pakistana dei divisori comuni ecc.).

Una moltiplicazione antica

C’è un metodo visuale che qualcuno attribuisce ai cinesi, qualcuno ai Maya e qualcuno a chissà chi. Se dovete moltiplicare 21 e 13, disegnate 2 rette rosse e 1 blu tutte parallele tra loro per rappresentare il 21; 1 rossa e 3 blu per rappresentare il 13. Disegnatele come in figura, poi contate i punti.

I 3 punti blu/blu sono le unità. I (6+1) punti rosso/blu sono le decine e i 2 punti rosso/rosso sono le centinaia: 273 è il prodotto. Con più colori (e più attenzione!) si può visualizzare una moltiplicazione con più cifre.

La proprietà invariantiva

La proprietà invariantiva è spesso sottovalutata e cade un po’ nel dimenticatoio. Invece si tratta di uno strumento molto importante per affrontare sottrazioni e divisioni. Se la utilizziamo per fare passaggi intermedi, abbiamo il vantaggio di lavorare passo a passo con numeri più piccoli.

1243-897=1203-857=403-57=353-7=346

Ho calcolato molte sottrazioni, ma tutte «facili». Addirittura, in molti passaggi posso rimandare il problema dei «prestiti». Ad esempio, nel primo ho alleggerito le decine cominciando a togliere 4 (che è la loro minor quantità, anche se sono nel minuendo). Non c’è un ordine unico per scegliere quali sottrazioni «facili» fare, dipende da chi fa le operazioni, e questo ci dà molta libertà e possibilità di scelta

Un esercizio di riscaldamento matematico

Una maestra di cui ho stima, Maria Dalbò, usa periodicamente l’attività che sto per descrivervi in modo da favorire la fluidità di calcolo di tutta la classe: non fermatevi alla parola “maestra” anche per una classe delle scuole secondarie l’attività merita.

Quando gli studenti hanno acquisito una certa dimestichezza con un’operazione (giusto per fare un esempio con la moltiplicazione) è importante allenarli in modo che siano fluidi nel calcolo.

A inizio lezione, prendetevi una decina di minuti, fate alzare in piedi tutti gli studenti, e cominciate a chiedere a uno per volta di fare una moltiplicazione. Chi sbaglia rimane in piedi, chi fa giusto si siede. Si va avanti fino a che tutti sono seduti. Importante: fate partire un cronometro, tenete il tempo di tutta la classe e riportatelo su un cartellone ben visibile. Rifate la stessa attività alcune volte nell’arco di un mese. Osserverete che i tempi registrati andranno calando.

È un piccolo allenamento che ha un’importante dimensione cooperativa: una classe migliora solo se migliorano tutti. Di più: il miglioramento del tempo è tanto più significativo, quando a migliorare sono i meno fluidi nel calcolo. E questo insegna molto su che cosa vuol dire “essere classe”.