Matematica: come insegnare le equivalenze metriche e unità di misura

• Equivalenze metriche e unità di misura: niente panico!
• Esercitarsi bene con la scala della lunghezza
• Unità di grandezza di area e volume
• I consigli didattici

EQUIVALENZE METRICHE E UNITÀ DI MISURA: NIENTE PANICO!

Metri, decimetri, centimetri e millimetri. Decametri, ettometri e chilometri. Grammi, decigrammi, centigrammi... e via elencando. Per quanti studenti queste sono soltanto cantilene, nemmeno tanto divertenti? Le unità di misura per alcuni bambini (e ragazzi) sono misteriose. E non è impossibile trovare qualche adulto che le gestisca con difficoltà. Solitamente, sono due le maggiore difficoltà che s'incontrano: capirne il senso, il significato e usarle con fluidità quando serve. Nella vita di tutti i giorni, ma anche in quella scientifica o in molte questioni tecniche, ci capita di avere a che fare con grandezze omogenee, cioè della stessa natura: due lunghezze, due durate, due pesi, due velocità, due superfici.

Le domande che ci possiamo porre, davanti a queste due grandezze, sono: quale delle due è la più grande? Quante “volte” la maggiore è più grande della minore? Quello che ci proponiamo è di confrontarle. Vediamo tre situazioni diverse di confronto che tutte assieme costituiscono un percorso logico che ci aiuta a definire l’idea che abbiamo di unità di misura.

• Prima situazione. Paolo ha due matite e deve confrontarle: semplice, le affianca e scopre qual è la più lunga (maggiore) e quale la più corta (minore). Qui è sufficiente un confronto diretto.
• Seconda situazione. Paolo e Giovanna hanno ciascuno una matita, sono distanti l’uno dall’altra (ciascuno a casa propria o, in aula, ciascuno al proprio posto senza alzarsi). Come possono confrontarle? Non possono farlo direttamente, ma possono accordarsi e farlo in modo mediato. Possono, per esempio, usare i fiammiferi. E così scoprono che la matita di Paolo è più corta di quattro fiammiferi, mentre quella di Giovanna è più lunga di cinque. Dunque, la matita di Giovanna è maggiore di quella di Paolo. Qui i due si sono avvalsi del confronto con un campione standard comune e con i suoi multipli.
• Terza situazione. Che cosa succede invece se entrambe le matite sono più lunghe di quattro fiammiferi e più corte di cinque? Il metodo adottato nella seconda situazione non basta più. Paolo e Giovanna devono affinarlo. L’affinamento a cui possono ricorrere nasconde un’astrazione molto potente e richiede un elemento in più. 

Oltre al campione standard, Paolo e Giovanna devono aggiungere una base concordata per calcolare multipli e sottomultipli. Normalmente usiamo il 10. Con questi due elementi, sono in grado di confrontare a distanza le loro matite. Come procedono:
1) entrambi, come nel nostro esempio, verificano che la propria matita è lunga più di quattro fiammiferi;
2) ora sia Paolo sia Giovanna si concentrano sulla propria parte che eccede i quattro fiammiferi. E la confrontano con un decimo di fiammifero;
3) se riescono a riconoscere qual è la maggiore si fermano, altrimenti procedono con un centesimo di fiammifero. E via di questo passo fino a un sottomultiplo che consente loro di dire qual è la maggiore.

ESERCITARSI BENE CON LA SCALA DELLA LUNGHEZZA

Il “trucco” sta nell’avere una regola condivisa per scegliere i sottomultipli. Ci sono casi nei quali la regola è molto arzigogolata.

Guardiamo, per esempio, il tempo: la durata di un giorno ha come primo sottomultiplo l’ora (che otteniamo dividendo per 24); quindi c’è il minuto (dividiamo per 60), il secondo (ancora per 60), il centesimo di secondo (dividiamo per 100). Anche in questo caso la durata campione, “giorno”, e i suoi sottomultipli sono condivisi: soltanto è un po’ più difficile calcolarli.

Per questo, nel Sistema Internazionale, o Sistema Metrico Decimale, si è deciso di usare sempre una stessa base (il numero 10) per calcolare sottomultipli e multipli. Si è anche deciso di usare un campione universale per la lunghezza (il metro).

Pertanto, per misurare la lunghezza delle matite (e di ogni altro oggetto) abbiamo l’unità di misura standard (il metro) e i suoi multipli e sottomultipli secondo 10 (quelli della cantilena). Abbiamo cioè un modo unico condiviso per fare i raffronti e questo ci autorizza a dire che una matita è lunga 12,3 cm, ovvero 12 centimetri e 3 millimetri. Con questo intendiamo che se le affianchiamo 12 centimetri e 3 millimetri raggiungiamo la sua lunghezza (magari con un errore inferiore al millimetro, ma questo è un altro discorso).

Il significato della misura è quindi fare confronti tanto precisi quanto vogliamo, condivisibili e standard.

La seconda difficoltà è di natura computazionale e consiste nel non essere fluidi nel “salire e scendere” sulla scala di multipli e sottomultipli di una grandezza. Il suggerimento è di lavorare molto e a fondo con una singola grandezza: suggerisco la lunghezza. E di farlo fino a quando gli studenti non hanno maturato una confidenza con la scala mm, cm, dm, m, dam, hm, km.

Questa scala è, in un certo senso, scivolosa. Passare da una grandezza a un suo multiplo richiede di dividere il valore della misura (23 metri sono 2,3 decametri e 0,23 ettometri). Mentre naturalmente saremmo portati a moltiplicare. L’errore è di interpretazione e possiamo cercare di superarlo tornando all’idea del confronto: se in una lunghezza “ci stanno” 23 metri, di decametri (che sono 10 volte più lunghi) possono starcene poco più di 2 (in realtà esattamente 2,3) e così via.

Lavoriamo a lungo con questo yoga in salita e discesa fino a che gli studenti non acquisiscono fluidità. È dunque preferibile concentrarsi su un’unica unità di misura per passare in un secondo momento, quando la “filastrocca” milli-, centri-, deci-, unità, deca-, etto-, chilo- è introiettata, ad applicarla ad altre grandezze (per esempio, i litri).

UNITÀ DI GRANDEZZA DI AREA E VOLUME

Un discorso a parte, in conclusione, va fatto per l’unità di grandezza di area e di volume. Queste due unità,
il metro quadrato e il metro cubo, hanno un comportamento leggermente diverso da quello del metro perché sono derivate dal metro. È il metro l’unità di misura fondamentale.

Poi, da questo ricaviamo il metro quadrato basandoci sulla definizione che diamo dell’area (un metro quadrato è la misura di un quadrato che ha lato un metro). È in questa definizione che è insita la moltiplicazione metro per metro che porta una piccola grande difficoltà nel calcolo: mentre per spostarci sulla scala del metro (e di tutte le altre misure fondamentali) ci muoviamo di 10 in 10, per il metro quadrato ci muoviamo di 100 in 100 (perché 100 è 10 per 10). Analogamente succede con i volumi.

I CONSIGLI DIDATTICI 

• Primo inciampo. Dal grande al piccolo, dal piccolo al grande

Una volta introdotta un’unità di misura, per qualche studente è un ostacolo passare ai multipli o ai sottomultipli. L’idea ingenua è quella di “moltiplicare” per avere un multiplo e “dividere” per un sottomultiplo. Non è così: funziona esattamente al contrario. Soffermiamoci con esempi e ragionamenti per tutto il tempo necessario.

• Secondo inciampo. Proponiamo problemi non forzati

Nessuno somma millimetri e chilometri. Direi di più: usiamo i chilometri proprio perché ci sono contesti nei quali non ha senso considerare i millimetri (e viceversa). Se faccio un viaggio da Reggio Calabria ad Aosta mi interessano i chilometri (anzi, le decine di chilometri) e non metri, centimetri o sottomultipli. Cerchiamo di proporre situazioni, problemi e calcoli che non chiedano passaggi forzati e astrusi.

• Terzo inciampo. Grandezze fondamentali e grandezze derivate

Lo sappiamo tutti, gestire il passaggio a multipli (o sottomultipli) delle unità di misura per l’area e il volume è complicato. I salti “di due in due” o “di tre in tre” inducono in errore. Naturalmente dobbiamo proporli, ma facciamolo in un secondo momento. Prima concentriamoci sulle grandezze fondamentali poi affrontiamo la definizione di quelle derivate da queste.

• Letture: Il meridiano e Il metro del mondo (Daniel Guedj)

Denis Guedj è (stato) un matematico e uno scrittore. È autore di romanzi sulla matematica, la fisica, la geografia. Alcuni hanno un taglio storico e una documentazione solida alle spalle. Tra i suoi libri, Il meridiano e Il metro del mondo raccontano di come nasce il sistema di misurazione decimale e di come è stato definito il metro. Nessuno dei due può servirvi per spiegare le unità di misura, ma sono letture piacevoli, dalle quali ho imparato molte cose su come sono andate le cose nella storia del metro. Vi troverete più di qualche spunto da leggere in classe o qualche aneddoto da raccontare a vostra volta.

• Attività da fare in classe: ciascuno realizza il proprio Sistema Metrico Personale

Sfidate i vostri studenti a essere creativi. Un Sistema Metrico è formato da alcuni “oggetti” standard ai quali confrontare quanto vogliamo misurare. Il cuore della misura è fare confronti con oggetti di grandezze diverse: che ne so? Un ombrello, un righello e una gomma. E allora la lunghezza dell’aula sarà di alcuni ombrelli, qualche righello e delle gomme. Sperimentare un proprio Sistema Metrico Personale aiuta a capire il passaggio da una scala all’altre e l’utilità che ha in questo lo scegliere multipli e sottomultipli.

Sono certo che sulla base delle diverse scelte di Sistema Metrico Personale, i vostri studenti solleveranno interrogativi significativi che li porteranno a lavorare con multipli e sottomultipli e a prediligere tra questi i multipli di 10, 12, 15 o 16. O comunque di numeri che hanno divisori facilmente gestibili.