Confrontare le figure piane

Si possono dire molte cose sull’estensione di una figura piana anche prima di introdurre l’area, la sua misura con tanto di unità di misura, formule e calcoli. L’idea principale è che vogliamo confrontare l’estensione di due (o più) figure piane. Vediamo quindi come possiamo confrontare figure piane anche se non sono uguali.

Confrontare segmenti per poterli misurare

Facciamo un passo indietro. Che cosa sappiamo sulla lunghezza delle curve? Sappiamo che è “facile” confrontare tratti di rette, ovvero segmenti. E infatti ci limitiamo a considerare situazioni nelle quali ci sono segmenti (ad esempio, misurando il perimetro di una poligonale). Solo molto più in là negli anni studieremo, oltre alla lunghezza della circonferenza, quella di altre curve: ellissi, parabole, iperbole e, più in generale, curve che si possono scrivere con le funzioni.

Senza andare così avanti, quello su cui ci concentriamo è essenzialmente il confronto di segmenti per poterli misurare, ovvero mettere in rapporto con un segmento standard (l’unità di misura, tipicamente il metro).

Come si confrontano le figure piane

Adesso applichiamo la stessa idea a figure piane. Come possiamo confrontare tra loro due figure? Anche se ci limitiamo ai rettangoli, la situazione è molto meno “comoda” che con i segmenti. In generale, non c’è un rapporto per passare da un rettangolo all’altro.

Non c’è modo di trovare un rapporto che faccia passare dal primo al secondo rettangolo: il rapporto che funziona per una coppia di lati, non funziona per l’altra.

Allora dobbiamo scegliere un’altra via, che è quella della scomposizione: una buona tecnica per cercare di conoscere l’estensione di una figura è scomporla. Proviamo a “tagliare a metà” il primo rettangolo.

Nelle figure sopra abbiamo suddiviso il rettangolo sempre in due parti uguali:

• due rettangoli (bassi e lunghi);
• due triangoli rettangoli;
• due trapezi rettangoli.

Poiché in tutti i casi abbiamo diviso il rettangolo in due parti uguali, possiamo tranquillamente dire che il rettangolo (basso e lungo), il triangolo e il trapezio hanno tutti la stessa area.

Non abbiamo fatto alcuna misurazione, ma abbiamo invocato un “principio naturale”: se dividiamo una figura in parti uguali in alcuni modi diversi, le figure che otteniamo sono tra loro diverse (come forma: si dice che non sono congruenti) ma hanno la stessa estensione (si dice che sono equivalenti). Come potrebbe essere altrimenti? In una suddivisione non creiamo né distruggiamo estensione. Complessivamente non cambia nulla, l’abbiamo solo suddivisa in due parti uguali.

Tolgo e aggiungo una stessa figura

Un altro caso interessante è quello sotto. Torniamo al nostro rettangolo e tagliamone via un triangolo che poi incolliamo dall’altro lato.

La nuova figura è un parallelogramma ed evidentemente ha la stessa estensione del rettangolo. Infatti, stiamo invocando un secondo principio naturale: abbiamo aggiunto e tolto una stessa figura, e pertanto cambia la forma ma non l’estensione.

Togliere da due figure uguali parti uguali

Facciamo un altro passo in là. Prendiamo un punto qualsiasi sulla diagonale di un rettangolo. E coloriamo, come in figura i due rettangoli rosso e verde.

La diagonale divide il rettangolo in due triangoli che potete sovrapporre (provare per credere): in particolare, quindi, i due triangoli hanno la stessa estensione. Ora guardate il triangolo “sopra la diagonale”: è formato da due triangoli bianchi, uno piccolo e uno grande e dal rettangolo verde. Quello “sotto la diagonale” è formato da due triangoli bianchi (rispettivamente uguali ai due che stanno sopra) e dal rettangolo rosso.

Ebbene, se ora tagliate via dai due triangoli iniziali i quattro triangoli due a due uguali, trovate che il rettangolo verde ha la stessa estensione del rettangolo rosso. Per arrivare a questo risultato abbiamo invocato un terzo principio naturale: se da due figure uguali togliamo parti uguali, troviamo figure che possono essere non sovrapponibili ma che hanno la stessa estensione.

Esercizi sulle figure piane

Prima attività. Torniamo al nostro rettangolo e al parallelogramma con la stessa estensione che abbiamo costruito “spostando” un triangolo.

Le diagonali dividono le due figure in metà che sono figure diverse, ma con la stessa estensione. Abbiamo cioè trovato due triangoli che hanno un lato uguale e il vertice opposto su una stessa retta parallela a quel lato che hanno la stessa estensione.

Si può verificare anche il viceversa: se due triangoli hanno un lato in comune e se hanno il terzo vertice su una retta parallela al lato, allora i due triangoli hanno la stessa estensione.

I tuoi alunni saprebbero verificarlo costruendo opportuni rettangoli e parallelogrammi?

Seconda attività. Dividi un rettangolo unendo vertici e punti medi.

In queste figure, i quattro triangoli hanno estensione uguale tra loro, e uguale a un quarto di quella del rettangolo. Ora andiamo avanti con i segmenti.

In questa figura puoi riconoscere parti che sono la metà del rettangolo, altre che ne sono un quarto, un ottavo, un sedicesimo e molte altre frazioni. Il suggerimento è di non cominciare a lavorare con tutti i segmenti. Disegnate il rettangolo. Individuate i quattro punti medi dei lati e tracciate solo alcuni dei segmenti: per cominciare, quattro o cinque possono bastare. Poi man mano che i bambini individuano “frazioni del rettangolo” potete complicare le cose aggiungendo altri segmenti.

Confrontare le figure piane è utile per capire alcuni principi fondamentali: queste attività possono rendere la comprensione più semplice.