Come insegnare le frazioni

Le frazioni sono spesso un argomento difficile: se la matematica fa paura, i suoi argomenti ancora di più! Eppure è necessario studiarle, così come i numeri naturali, le percentuali, le operazioni e molto altro. Vediamo insieme come può essere facilitato il lavoro degli insegnanti e, di conseguenza, quello degli studenti.

Un passo indietro: addizioni e moltiplicazioni

Per parlare di divisioni, facciamo qualche passo indietro fino all’addizione. Calcolare un’addizione significa aggiungere una quantità a un’altra (gli addendi), sino a ottenere un risultato, la somma. Una volta che i nostri bambini hanno imparato a far questo siamo stati in grado di aiutarli a progredire in due direzioni: quella della moltiplicazione e quella della sottrazione.

La moltiplicazione è semplicemente un’espressione formata da alcune addizioni tra addendi tutti uguali: 7×4=7+7+7+7. Addizioni e moltiplicazioni prendono numeri naturali (0, 1, 2, 3, 4…) e restituiscono numeri naturali. Facciamo attenzione a questo aspetto, perché quando parleremo di divisioni diventerà un pregiudizio che probabilmente è alla base di tante incomprensioni.

Le sottrazioni per capire le frazioni

La sottrazione, invece, è la ricerca della risposta a una domanda abbastanza spontanea: qual è il numero che sommato a 5 dà 12? A un primo sguardo la sottrazione continua a produrre come risultati (le differenze) ancora numeri naturali. Ma sottrazione dopo sottrazione, ci imbattiamo in domande quali: qual è il numero che sommato a 13 dà 9? Esiste? E la risposta è…:

«Dipende». Dipende da dove vogliamo che esista. Tra i numeri naturali 9 – 13 non esiste e, come si dice, la sottrazione è impossibile. Altrove però troviamo la risposta alla nostra domanda: se inventiamo altri numeri possiamo rispondere alla domanda che ci pone ogni sottrazione.

I numeri interi

I numeri interi (… −4, −3, −2, −1, 0, +1, +2, +3, +4…) sono esattamente tutte le differenze di tutte le sottrazioni possibili. Che cosa abbiamo fatto? Abbiamo completato i numeri naturali, che otteniamo “aggiungendo” numeri a numeri, con i numeri che otteniamo “togliendo” numeri a numeri. Come passiamo da un numero al successivo calcolando +1, così passiamo da un numero al precedente calcolando –1. In questo senso, addizione e sottrazione sono operazioni “simmetriche”: corrispondono cioè alla stessa azione (fare un passo) sulla retta numerica. Solo che in un caso il passo è nella direzione dei numeri che crescono, nell’altro è in quella opposta. Le tre operazioni (addizione, moltiplicazione e sottrazione) prendono numeri naturali e producono numeri interi. Poi impariamo a calcolare anche le stesse tre operazioni prendendo numeri interi come addendi, fattori, minuendi e sottraendi ma questo è un altro discorso che ci porterebbe lontano dai nostri scopi.

E la divisione?

Inizialmente la divisione è la ricerca di una risposta alla domanda: qual è il numero che moltiplicato per 4 dà 12? Di nuovo, è una domanda che parte da due numeri naturali e ne cerca un terzo (il quoziente). Presto scopriamo che la risposta esatta c’è in alcuni casi, mentre in altri dobbiamo accontentarci di un compromesso.

Sappiamo calcolare 12 : 4 e otteniamo come quoziente il numero naturale 3. Ma se vogliamo calcolare 13 : 5 dobbiamo fare una scelta tra due possibili risposte.

O ci accontentiamo di un quoziente “parziale” e accettiamo che alcuni numeri restino fuori dalla nostra divisione, e allora diciamo che 13 : 5 fa 2 con il resto di 3. Tutto quello che sappiamo fare è costituire 2 gruppi da 5 unità, accettando che ne restino fuori dal gruppo 3.

O vogliamo veramente fare parti uguali e allora dobbiamo inventarci nuovi numeri, quelli che sono esattamente i quozienti delle divisioni tra due numeri naturali: non dimentichiamo che il divisore deve essere diverso da zero, ma questo è un importante e irrinunciabile dettaglio tecnico che non ha a che fare con “l’idea della divisione” in sé. “L’idea della divisione” poi si fa strada dentro di noi e vogliamo risolvere problemi più generali: posso dividere in due parti uguali un cerchio (ad esempio, una torta)?

È evidente che le due metà di un cerchio non sono cerchi. Quello che succede quando dividiamo qualcosa in parti uguali è che otteniamo “cose” diverse. È un passaggio importante: stiamo astraendo dalla natura concreta del cerchio (della torta) per inventare un nuovo concetto, 1 : 2, un nuovo numero: la frazione.

Che cosa sono le frazioni

Le frazioni sono la risposta a domande del tipo: quanto fa 1 diviso 2? E la potenza della teoria delle frazioni sta tutta nel capire che cosa sia una frazione senza aver bisogno di calcolarla. Ancora di più, man mano che impariamo le frazioni, impariamo a fare i calcoli con esse senza calcolarne il valore. In moltissimi casi è più agevole lavorare con la frazione (pensate, ad esempio, a 1/7) che calcolarne il valore numerico, ovvero il quoziente (1 : 7 vale qualcosa come 0,14285714285, non proprio facile da maneggiare!).

Il percorso più agevole con le frazioni parte dal considerare le frazioni unitarie: 1/2, 1/3, 1/4, 1/5 e così via. Sono le frazioni che rispondono alla domanda: quale numero ottengo se divido 1 in 2 (o rispettivamente 3, 4, 5) parti uguali? Una buona seconda tappa è osservare che dividere un intero in 3 parti uguali e poi dividere una di queste parti a sua volta in 5 parti uguali, è la stessa cosa che dividere l’intero in 3×5=15 parti uguali. Ci aiuterà a capire, quando parleremo di moltiplicazione, che 1/3 x 1/5 = 1/3x5.

Un’altra osservazione può essere fatta considerando più frazioni unitarie tutte uguali. Ad esempio, se prendo 3 sesti di un intero, faccio la stessa azione che prenderne la metà.

Ci aiuterà a capire, di nuovo a proposito di moltiplicazioni, che 3× 1/6 = ½ .

Prima di parlare di moltiplicazione, facciamo osservare ai bambini alcune di queste relazioni tra frazioni. Implicitamente stiamo guidandoli a capire che 1/a x 1/b = 1/axb e che m × 1/n = m/n , due relazioni importanti per capire come moltiplicare le frazioni.

Frazioni equivalenti

Il nodo successivo da affrontare è quello delle frazioni equivalenti: dividere un intero in due è lo stesso che dividerne due in quattro, tre in sei, quattro in otto e così via. Qui possiamo far provare la prima vertigine matematica ai nostri bambini: ogni frazione può essere scritta in infiniti modi diversi. Prendiamo una frazione e moltiplichiamo numeratore e denominatore per un numero naturale (diverso da zero) e otteniamo sempre una frazione equivalente. Spendiamo tempo su questa situazione: è una delle poche volte nella vita che impariamo a scrivere uno stesso concetto in infiniti modi equivalenti!

Da qui all’addizione (e alla sottrazione) di frazioni il passo è breve. Lo slogan è presto detto: si sommano mele con le mele e pere con le pere. Al di là della battuta, se vogliamo sommare due frazioni, dobbiamo sommare frazioni unitarie dello stesso tipo.

Per sommare “terzi” e “quarti”, prima dobbiamo scriverli come frazioni unitarie dello stesso tipo: in questo caso i “dodicesimi” vanno benissimo (1/3 = 4/12 e 1/4 = 3/12).

L’addizione di frazioni è spesso difficile da calcolare (non neghiamo questa difficoltà). Quello che facevamo tra numeri naturali o numeri interi non funziona più. E non funziona perché mentre gli interi sono tutti “interi uguali”, le frazioni sono apparentemente multipli di frazioni unitarie diverse e vanno trasformate in “frazioni unitarie uguali” per poter procedere come sappiamo fare.

Insegnare, e quindi imparare le frazioni non è così complicato, se si fa col metodo giusto!