Come imparare la geometria con le api – laboratorio STEAM

Il 20 maggio è la “Giornata Internazionale delle Api”. È stata istituita nel 2017 dall’Assemblea generale delle Nazioni Unite per sensibilizzare l’opinione pubblica sull’importanza di questi animali nell’ecosistema terrestre, sui rischi di sopravvivenza che stanno correndo a causa dei pesticidi e dei cambiamenti climatici e sul loro prezioso contributo allo sviluppo sostenibile. L’importanza delle api era già nota ai popoli più antichi che si cibavano del loro miele, unica sostanza zuccherina conosciuta, come confermano le prime raffigurazioni ritrovate nell’arte egizia e succesivamente nel mondo greco.

Le api sono creature affascinanti per la loro incredibile etica del lavoro, per come producono il miele, per la loro struttura sociale complessa, ma anche per un’altra ragione: sono eccellenti matematiche. In particolare, il loro genio matematico si manifesta nell’alveare, un meraviglioso progetto architettonico che è una casa sicura dove vivere insieme alla colonia e, al tempo stesso, un luogo spazioso dove poter immagazzinare il nettare e farlo maturare adeguatamente fino a diventare miele. Ma quanta matematica sa un'ape?

Sicuramente conoscono un po' più di geometria della maggior parte di noi, ma l’alveare è il risultato di anni e anni di evoluzione che le ha portate a scegliere gli esagoni come forma ottimale per i loro favi. Già nel IV secolo, il geometra greco Pappo di Alessandria sospettava che la forma esagonale del favo fosse la scelta costruttiva più efficiente, perché permetteva alle api di utilizzare la minor quantità di cera per costruire le pareti. La sua ipotesi, divenuta nota come “congettura del nido di ape”, fu dimostrata definitivamente dal matematico Thomas Hales nel 1999, ma è stato solo con l'avvento, qualche anno dopo, delle tecniche di ripresa microscopiche che gli scienziati hanno compreso la straordinaria impresa di ingegneria di alta precisione compiuta dalle api.

Quale occasione migliore quindi per fare un po’ di "matemAPIca", usando la forma geometrica preferita dalle api?

MATERIALE

• Forbici
• Sviluppo piano del decaedro
• Fogli di carta A4 a griglia esagonale
• Nastro adesivo trasparente
• Righello
• Matita
• Colori
• Esagoni di carta o plastica

Fase uno: ragioniamo con le api

Immaginiamo per un attimo di essere delle api, che devono costruire un deposito per il cibo e per la propria famiglia. Una buona soluzione è quella di costruire celle abbastanza grandi da contenere un’ape e che possano fungere da contenitori per conservare il nettare. Non abbiamo becchi o arti che ci aiutino a sollevare le cose, ma possiamo produrre cera. Tuttavia, produrla è un lavoraccio, perché dobbiamo consumare più di 200 grammi di miele per produrre appena 28 grammi di cera. Quindi, non vogliamo sprecarla! Quali forme geometriche possiamo usare per la costruzione che ci permettano di essere contemporaneamente efficienti ed efficaci?
Consegniamo agli studenti alcune forme geometriche regolari: cerchi, triangoli, quadrati ed esagoni. Cerchiamo di capire insieme quale sia la forma migliore per costruire l’alveare, tenendo conto dei seguenti vincoli:

• la struttura deve essere compatta, resistente e non deve lasciare spazi vuoti;
• possiamo usare una sola forma;
• la forma scelta deve essere costruita con la minor quantità possibile di cera in modo che possa contenere la maggior quantità di miele possibile (tradotto matematicamente area massima e perimetro minimo).

Prima di questa fase, potrebbe essere utile definire che cos’è un poligono regolare, cosa si intende per compattezza della struttura e come si calcolano il perimetro e l’area delle figure utilizzate.

Durante lo svolgimento, invece, potrebbero essere di aiuto domande del tipo: “Perché è più semplice che la forma usata sia la stessa?”, “Perché il cerchio, pur essendo la figura che soddisfa il terzo vincolo, è meno vantaggioso dell’esagono?” oppure “Perché ci limitiamo alle figure regolari?”

Fase due: costruiamo il nido d'ape

Stabilito che l’esagono regolare è la forma bidimensionale più adatta per costruire le celle dell’alveare, passiamo alla terza dimensione. Mostriamo agli studenti la forma del nido d’ape e chiediamo loro di identificare quante facce ha. Quante ce ne sono? Hanno tutte la stessa forma?

Consegniamo poi il foglio con lo sviluppo piano del nido d'ape a ogni studente e chiediamo loro di costruirlo. Non appena tutti avranno ultimato la costruzione, proviamo a raggruppare insieme i nidi d’ape per creare un modello tridimensionale dell’alveare. I nidi costruiti si adattano bene insieme anche alle estremità?

Il nido d’ape ha la forma di un poliedro irregolare, chiamato “decaedro”, con facce che sono quadrilateri ad eccezione dell’apertura che è di forma esagonale, che, adattandosi perfettamente con gli altri, rende la struttura dell’alveare fisicamente resistente, a tenuta stagna e bene adatta agli scopi per cui è stata costruita.

L’alveare è un esempio di quella che in matematica viene definita tassellazione dello spazio. Usando un motore di ricerca, si potrebbe effettuare un lavoro di approfondimento per scoprire se esistono altre forme tridimensionali che tassellano lo spazio, come ad esempio i cubi.

Fase tre: giochiamo con gli esagoni

Partendo dall’esagono come forma base, proviamo a costruire nuove forme geometriche, dette “poliesagoni”. Nella matematica ricreativa, un poliesagono è una forma poligonale costruita unendo uno o più esagoni, seguendo alcune semplici regole:

• gli esagoni possono essere uniti solo lungo uno spigolo comune e devono condividere l'intero spigolo;
• non possono sovrapporsi;
• due poliesagoni sono equivalenti se sovrapponibili per rotazione e/o ribaltamento.

I poliesagoni hanno nomi specifici a seconda di quanti sono gli esagoni che li compongono (monoesagono, diesagono, triesagono, tetraesagono, ecc.), ma quanti ce ne sono in ogni famiglia? Ad esempio, quanti pentaesagoni? Scopriamolo insieme agli studenti, tenendo presente che il numero cresce molto rapidamente e, a oggi, non esiste una regola per stabilire a priori quanti ce ne siano.

Fase quattro: giochiamo, sperimentiamo e riflettiamo

Il primo gioco da realizzare è un puzzle esagonale. Su un foglio a griglia esagonale, disegniamo una cornice esagonale di lato 5 esagoni e 14 pezzi colorati (1 triesagono, 7 tetraesagoni e 6 pentaesagoni) come quelli in figura. Ritagliamo tutto e il gioco è pronto. Alcune varianti interessanti potrebbero essere: scegliere una cornice di forma diversa, scegliere un un altro numero di pezzi di forma diversa oppure attaccare una foto sopra i pezzi prima di ritagliarli per ottenere un puzzle fotografico.

Il secondo gioco da realizzare è il famoso Hex, inventato da Piet Hein nel 1942. La cornice di gioco stavolta è una scacchiera romboidale con 11 esagoni per lato, mentre le pedine di gioco sono dei singoli esagoni di due colori. I giocatori posizionano alternativamente una pedina sulla scacchiera e vince chi per primo riesce a formare una linea continua che connetta due lati opposti.

Entrambi i giochi possono essere usati in classe, tanto nella scuola primaria, quanto in quella secondaria di secondo grado, poiché si prestano ad approfondimenti di carattere matematico, tecnico e interdisciplinare di difficoltà crescente. Un’altra idea interessante potrebbe essere quella di coinvolgere un falegname (magari ce n’è uno tra i colleghi o tra i genitori), che possa realizzare uno scaffale a nido d’ape da utilizzare in classe. Ovviamente, il progetto e le eventuali decorazioni dovranno essere affidate agli studenti!

Altri esempi della struttura a nido d'ape

Grazie alla sua efficienza, la struttura esagonale a nido d'ape è stata, e continua ad essere, una fonte di ispirazione per l’uomo e viene utilizzata in svariati campi: dall’ingegneria meccanica alla chimica, dalla biomedicina all’industria informatica, medica e aerospaziale, dall’architettura alla tecnologia avanzata. Che si tratti della caratteristica copertura della superficie esterna del nuovo edificio del Museo Soumaya di Città del Messico (foto sotto), costituita da oltre 16mila moduli esagonali in alluminio, o del grafene utilizzato per la costruzione dei nuovi touch screen flessibili che sono già stati lanciati sul mercato dell’high-tech, la struttura utilizzata è sempre la stessa, solo su scala diversa.

Ci sono molti altri contesti nei quali possiamo ritrovare la forma esagonale. Basta guardarsi intorno per accorgersi che hanno forma esagonale:

• le matite e i colori a pastello che utilizziamo perché, oltre a consentire un’impugnatura ottimale, impedisce loro di rotolare sul tavolo e, in caso di stoccaggio con altre matite, permette loro di incastrarsi alla perfezione l'una con l'altra, economizzando al massimo lo spazio;
  
• le piastrelle usate per la pavimentazione, perché forniscono un’estetica diversa e particolari caratteristiche alla superficie da calpestare, come l’effetto tridimensionale sfruttato già in epoca romana e visibile in uno dei pavimenti della Casa del Fauno a Pompei;
  
• i fiocchi di neve che cadono dal cielo, perché la disposizione degli atomi all'interno di un cristallo di ghiaccio dà vita ad una struttura esagonale che, a sua volta, determina la simmetria del fiocco di neve stesso.

Ora che la primavera finalmente è sbocciata e la scuola sta per finire, approfittiamo per uscire dall’aula e andare alla ricerca degli oggetti e dei luoghi dove si nascondono altre forme esagonali. Ci sorprenderemo a ritrovarle anche nei fiori e, se dovessimo incontrare delle api, ringraziamole per quanto ci hanno insegnato e per quanto sono e saranno preziose per noi e per la sostenibilità del mondo in cui viviamo.